Формализм в науке.

И. Лакатос уделяет вни-мание проблеме научного формализма. Этой проблемы он касается в своей книге “Доказа-тельства и опровержения” и прослеживает ее на основе философии математики, как наиболее близкому направлению философии науки.

Книга И. Лакатоса является как бы продолже-нием книги Г. Полья — «Математика и допустимые рассуждения» (Лондон, 1954). Разобрав вопросы, касающиеся возникновения догадки и ее провер-ки, Полья в своей книге остановился на фазе до-казательства; исследованию этой фазы И. Лака-тос и посвятил эту книгу [6].

И. Лакатос пишет, что в истории мысли часто случается, при появлении нового мощного мето-да быстро выдвигается на авансцену изучение задач, которые этим методом быть решены, в то время как все остальные игнорируются, даже за-бываются, а изучением его пренебрегают.

Он утверждает, что именно это как будто произошло в нашем столетии в области филосо-фии математики в результате ее стремительного развития.

Предмет математики состоит в такой абст-ракции математики, когда математические тео-рии заменяются формальными системами, дока-зательства — некоторыми последовательностями хорошо известных формул, определения — «со-кращенными выражениями, которые «теоретиче-ски необязательны, но зато типографически удобны».

Такая абстракция была придумана Гильбер-том, чтобы получить мощную технику исследова-ния задач методологии математики. Но в месте с тем И. Лакатос отмечает, что существуют задачи, которые выпадают из рамок математической аб-стракции. В их числе находятся все задачи, отно-сящиеся к «содержательной» математике и ее развитию, и все задачи, касающиеся ситуацион-ной логики и решения математических задач. Термин «ситуационная логика» принадлежит Поп-перу. Этот термин обозначающий логику продук-тивную, логику математического творчества.

Школу математической философии, которая стремиться отождествить математику с ее мате-матической абстракцией (а философию матема-тики — с метаматематикой), И. Лакатос называет «формалистской» школой. Одна из самых отчет-ливых характеристик формалистской позиции на-ходится у Карнапа. Карнап требует, чтобы:

а) философия была заменена логикой науки…, но

б) логика науки представляет не что иное, как логический синтаксис языка науки…,

в) математика является синтаксисом математи-ческого языка.

Т.е. философию математики следует заменить метаматематикой.

Формализм по мнению И. Лакатоса отделяет историю математики от философии математики, собственно говоря истории математики не суще-ствует. Любой формалист должен быть согласен с замечанием Рассела, что «Законы мысли» Буля (Boole, 1854) были «первой книгой когда-либо на-писанной по математике. Формализм отрицает статус математики для большей части того, что обычно понималось как входящее в математику, и ничего не может сказать об ее «развитии». «Ни один из «критических» периодов математических теорий может быть допущен в формалистическое небо, где математические теории пребывают как серафимы, очищенные от всех пятен земной не-достоверности.

Однако формалисты обычно оставляют откры-тым небольшой черный ход для падших ангелов; если для каких-нибудь «смесей математики и че-го-то другого» окажется возможным построить формальные системы, «которые в некотором смысле включают их», то они могут быть тогда допущены».

Как пишет И. Лакатос, при таких условиях Ньютону пришлось бы прождать четыре века, по-ка Пеано, Рассел и Куайн помогли ему влезть на небо, формализовав его исчисления бесконечно малых. Дирак оказался более счастливым: Шварц спас его душу еще при его жизни. Здесь И. Лакатос упоминает парадоксальное затруднение математика: по формалистским или даже по де-дуктивистским стандартам он не является чест-ным математиком. Дьёдонне говорит об «абсо-лютной необходимости для каждого математика, который заботится об интеллектуальной честно-сти, представлять свои рассуждения в аксиома-тической форме».

При современном господстве формализма И. Лакатос перефразирует Канта: история матема-тики, лишившись руководства философии, сде-лалась слепой, тогда как философия математики, повернувшись спиной к наиболее интригующим событиям истории математики, сделалась пус-той.

По мнению Лакатоса «формализм» предос-тавляет крепость логической позитивистской фи-лософии. Если следовать логическому позити-визму, то утверждение имеет смысл только, если оно является «тавтологическим» или эмпириче-ским.

Так как содержательная математика не является ни «тавтологической» ни эмпирической, то она должна быть бессмысленной, она — чистый вздор. Здесь он отталкивается от Тюркетта, который в споре с Копи утверждает, что положения Геделя не имеют смысла. Копи считает, что эти положе-ния являются «априорными истинами», но не ана-литическими, то они опровергают аналитическую теорию априорности. Лакатос отметил, что никто из них не замечает, что особый статус положений Геделя с этой точки зрения состоит в том, что эти теоремы являются теоремами неформальной со-держательной математики и что в действитель-ности они оба обсуждают статус неформальной математики в частном случае. Теории нефор-мальной математики определенно являются до-гадками, которые вряд ли можно разделить на априорные и апостериорные. Т.о. догматы логи-ческого позитивизма гибельны для истории и фи-лософии математики.

И. Лакатос в выражении методология науки, употребляет слово «методология» в смысле, близком к «эвристике» Полья и Бернайса и к «ло-гике открытия» или «ситуационной логике» Поппе-ра. Изъятие термина «методология математики» для использования в качестве синонима «мета-математики» имеет формалистический привкус. Это показывает, что в формалистской филосо-фии математики нет настоящего места для мето-дологии как логики открытия. Формалисты счита-ют, что математика тождественна формализо-ванной математике.

Он утверждает, что в формализованной тео-рии можно открыть два ряда вещей:

1. можно открыть решение задач, которые ма-шина Тьюринга (она представляет собой конеч-ный список правил или конечное описание про-цедуры в нашем интуитивном понимании алго-ритма [2]) при подходящей программе может ре-шить за конечное время. Но ни один математик не заинтересован в том, что бы следить за этим скучным механическим «методом», предписывае-мый процедурами такого решения.

2. можно найти решения задач вроде: будет ли теоремой или нет некоторая формула теории, в которой не установлены возможность оконча-тельного решения, где можно руководствоваться только «методом» неуправляемой интуиции и удачи.

По мнению И. Лакатоса, для живой математи-ки непригодна эта мрачная альтернатива машин-ного рационализма и иррационального отгадыва-ния вслепую. Исследователь неформальной ма-тематики дает творческим математикам богатую ситуационную логику, которая не будет ни меха-нической, ни иррациональной, но которая никак не может получить признания и поощрения фор-малистской философии.

Но все таки он признает, что история матема-тики и логика математического открытия, т.е. фи-логенез и онтогенез математической мысли, не могут быть развиты без критицизма и оконча-тельного отказа от формализма.

Формалистическая философия математики имеет очень глубокие корни. Она представляет последнее звено в длинной цепи догматических философий математики. Более двух тысяч лет идет спор между догматиками и скептиками. Дог-матики утверждают, что силой нашего человече-ского интеллекта и чувств, или только одних чувств, мы можем достичь истины и узнать, что мы ее достигли. Скептики, утверждают, что мы совершенно не можем достичь истины, или что ели даже сможем ее достичь, то не сможем знать, что мы ее достигли. В этом споре матема-тика была гордой крепостью догматизма. Боль-шая часть скептиков примерилась с неприступно-стью этой крепости догмастской теории познания. И. Лакатос утверждает, что бросить этому вызов — давно уже стало необходимым [6].

Таким образом цель данной книги И. Лакато-са — вызов математическому формализму.

Рубрики: Философия | Дата публикации: 30.06.2010

Комментарии и Отзывы