Содержание общей теории относительности

Автор: Agent | 28.02.2017 | 5:17 | В рубриках: Без рубрики

Свойства материи, которая присутствует в искривлённом пространстве-времени, связываются с его кривизной с помощью уравнений Эйнштейна. Они выглядят довольно просто, в сравнении с другими представителями подобных мыслимых уравнений:

Здесь   — тензор Риччи, который получают из тензора кривизны пространства-времени , сворачивая его по паре индексов

R – скалярная кривизна, которая представляет собой тензор Риччи сворачивающийся с дважды контравариантным метрическим тензором

Что касается Λ – то это космологическая постоянная, а  ни что иное, как тензор энергии-импульса к материи. \pi   и с это стандартные величины – число Пи и скорость света в вакууме. G – Гравитационная постоянная Ньютона. Отсюда появился тензор Эйнштейна:

И гравитационная постоянная Эйнштейна:

Греческие индексы здесь изменяются от 0 до 3. Дважды контравариантный метрический тензор можно задать при помощи следующего соотношения:

А тензор кривизны пространства-времени выводится так:

Здесь применяются символы Кристоффеля. Их можно определить благодаря производным от компонент дважды ковариантного метрического тензора

Исходя из определения известен символ Кристоффеля с одним верхним индексом:

Свойства ковариантности, которыми обладают уравнения Эйнштейна из-за отсутствия привязки к какой-либо системе координат для описания пространства-времени, позволяют ограничить выбор независимых компонент симметричного метрического тензора в пределах от шести до десяти. Систему уравнений Эйнштейна необходимо укладывать в определённые рамки, которыми становятся ограничения компонентов метрики, иначе она останется недоопределённой. Заданные компоненты соответствуют однозначному заданию координат в рассматриваемой области пространства-времени. В итоге получаются своего рода координатные условия.

В случае выбора правильных координатных условия можно найти все десять независимых компонент симметричного метрического тензора из решения уравнений Эйнштейна. Метрический тензор же сам по себе описывает свойства пространства-времени для конкретно заданной точки, а применяют его для того, что бы описать результаты физических экспериментов. Более того метрический тензор помогает в задании квадрата интервала в искривлённом пространстве:

А он уже, в свою очередь, определяет расстояние в физическом пространстве. В итоге получается, что символы Кристоффеля метрического тензора описывают геодезические линии. Приравняв тензор энергии-импульса к нулю, можно получить наиболее простой случай пустого пространства. Здесь возможно описание одного из решений уравнения Эйнштейна метрикой Минковского специальной теории относительности

Космологическая постоянная была введена в 1917 году и в течении длительного времени продолжалась дискуссия на тему третьего члена в левой части уравнений Эйнштейна. Со временем открыли расширение Вселенной, которое буквально уничтожило какие-либо основания для сохранения лямбда-члена в теории гравитации. Вселенная расширяется с определённым ускорением, что говорит о положительной величине космологической постоянной, тем не менее, она так мала, что ей попросту пренебрегают при расчётах. Исключением становятся расчёты в масштабах скоплений галактик и выше.

В уравнениях Эйнштейна кривизна и энергия-импульс используются линейно. Что касается левой части, то здесь все тензорные величины валентности 2, и они могут характеризовать пространство-время. Выводятся они через принцип наименьшего действия для действия Эйнштейна – Гильберта:

Взглянем на уравнения Эйнштейна с математической точки зрения. Мы видим систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно метрического тензора пространства-времени. В связи с этим сумма их решений не представляет собой новое решение. Линейность приближённо восстанавливается только при расчётах малых возмущений заданного пространства времени. Возьмём, например, слабые гравитационные поля для которых отклонения метрических коэффициентов от аналогичных параметров для плоского пространства-времени, достаточно малы. При этом мала и порождаемая ими кривизна.

Тензор энергии-импульса подчиняется собственному набору уравнений, которые описывают среду, расположенную в рассматриваемой области. Это становится дополнительной сложностью при решении уравнений. Локальный закон сохранения энергии-импульса позволяет выразить уравнения движения из уравнений Эйнштейна, правда лишь в тому случае, если их меньше четырёх. Подобное свойство было впервые продемонстрировано Д. Гильбертом в его работе “Основания физики”. Его назвали самосогласованностью уравнений Эйнштейна. В том случае, если уравнений движения больше четырёх, то система, которую необходимо решить, состоит из координатных условий уравнений Эйнштейна и уравнений среды. Провести подобные вычисления чрезвычайно сложно, поэтому известные точные решения уравнений имеют широкую известность:

  1. Решение Шварцшильда – пожалуй, одно из самых важных решений уравнений Эйнштейна. Оно соответствует пространству-времени, которое окружает сферически-симметричный незаряженный и не вращающийся массивный объект;
  2. Решение Райсснера – Нордстрёма – описывает пространство-время заряженного сферически-симметричного массивного объекта;
  3. Решение Керра – оно подходит для вращающегося массивного объекта;
  4. Решение Керри – Ньюмена – для заряженного вращающегося массивного объекта;
  5. Решение Фридмана – космологическое решение для вселенной в целом.
  6. Точные гравитационно-волновые решения.

Существуют и приближённые решения, среди которых так же есть существенные для физики в целом:

  1. Приближённые гравитационно-волновые решения;
  2. Решения для гравитационных возмущений на фоне космологического решения Фридмана;
  3. Решения, которые получаются через метод постньютоновского разложения.

Численная относительность, динамично развивающаяся в настоящее время, была так же следствием преодоления сложностей, связанных с численным решением уравнений Эйнштейна, в начале 2000 годов.

Существует любопытный факт. Гильберт на пять дней раньше Эйнштейна получил систему уравнений, которую вывел из принципа наименьшего действия, тогда как в общей теории относительности она выведена из принципа общей ковариантности. Таким образом Гильберь опередил своего коллегу, но, тем не менее, никогда не претендовал на приоритет, а ОТО в полной мере считал детищем Эйнштейна.

Спасибо вам за добавление этой статьи в: